證明面面垂直的方法

為方便，下面#后的代表向量。

#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.

對(duì)角線(xiàn)的點(diǎn)積：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD

兩組對(duì)邊平方和分別為：

AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC

AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA

則AB2+CD2=AD2+BC2等價(jià)于#BD·#BC=#BD·#BA等價(jià)于#AC·#BD=0

所以原命題成立，空間四邊形對(duì)角線(xiàn)垂直的充要條件是兩組對(duì)邊的平方和相等

證明一個(gè)面上的一條線(xiàn)垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個(gè)平面的垂線(xiàn)在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90° ，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線(xiàn)等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線(xiàn)線(xiàn)垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱(chēng)兩條直線(xiàn)互相垂直。

1向量法 兩條直線(xiàn)的方向向量數(shù)量積為0

2斜率 兩條直線(xiàn)斜率積為-1

3線(xiàn)面垂直，則這條直線(xiàn)垂直于該平面內(nèi)的所有直線(xiàn)

一條直線(xiàn)垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線(xiàn)定理 在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。

5三垂線(xiàn)定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線(xiàn)和平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)也垂直于這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線(xiàn)線(xiàn)平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)平行。2.公理4(平行公理)。3.線(xiàn)面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行。

線(xiàn)面平行：1.直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線(xiàn)與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線(xiàn)線(xiàn)垂直：1.直線(xiàn)所成角為90°。2.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，那么這條直線(xiàn)與平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直。

線(xiàn)面垂直：1.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直。2.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線(xiàn)也與此平面垂直。5.一條直線(xiàn)垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線(xiàn)也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直。

【證明面面垂直的方法】相關(guān)文章：

證明平行的方法01-02

垂直04-30

垂直地震剖面與地面地震聯(lián)合成像方法04-28

垂直尾翼04-29

余弦定理的證明方法04-28

例舉線(xiàn)段相等的證明方法05-01

《平行與垂直》教案03-10

垂直與平行教案04-25

垂直與平行 教案04-28

垂直與平行教案04-28